Ejercicio modelo para examen de admisión (UCR) (2)

En la figura adjunta, sucede con certeza que:

A)   PQ  = RS
B)   PQ  = QR
C)   QR = QS
D)   QR = 5
E)   PS = 20

Extraído del día 30 de abril de 2011 desde http://www.paa.iip.ucr.ac.cr/main.php?loadx=1&idcat=41,

Ejercicio modelo para examen de admisión (UCR) (1)

Analice las siguientes igualdades y descubra la ley o regla que se da en ellas:

•   1  =  1
•   2  =  1 + 1
•   4  =  (1 + 2) + 1
•   8  =  (1 + 2 + 4) + 1 
• 16  =  (1 + 2 + 4 + 8) + 1

De acuerdo con esta ley, la expresión correspondiente a 256 sería

A)   (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + 1
B)   (1 + 2 + 4 + 8 + 32 + 208) + 1
C)   (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 224) + 1
D)   (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 96 + 128) + 1
E)   (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128) + 1

Extraído del día 30 de abril de 2011 desde http://www.paa.iip.ucr.ac.cr/main.php?loadx=1&idcat=41,

La matemática y el entorno

"¿Por qué el hombre ha buscado siempre la perfección? ¿Se halla quizás la perfección en la naturaleza misma? ¿Por qué hay formas geométricas que se repiten en la naturaleza, como el círculo, la esfera? ¿Serán los números y la geometría la clave de todo el Universo? (...) Todo ello de una forma armoniosa. ¿Es que acaso la geometría copia la naturaleza? ¿O es al contrario?" (Rivero, 1995, p.5)

Rivero, F. (1995). Reflexiones sobre la matemática y el mundo que nos rodea. Extraído del día 23 de abril de 2011 desde http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/Libros/Numeros%20sobre%20la%20Meseta.pdf.

A nivel general, Rivero nos plantea una cosmovisión centrada en la matemática, pues esta no está aislada de la realidad, ya que su uso está impregnado en todo lo que hacemos. A pesar de que presenta aspectos matemáticos de una forma más informal, lo hace de una manera más atractiva por su relación con la realidad; sin embargo, aunque su intención no es plantear un modo tradicional a la hora de enseñar, al final termina reproduciendo, en parte, este modelo.

No obstante, recomiendo esta lectura para que posean otro punto de vista que nos permita disfrutar más la matemática.

Encuentra el error matemático

Halle el error en el siguiente problema y justifique:

Problema
Sean a, b números reales tal que a = b, entonces:
ab = a²
ab-b² = a²-b²
b(a-b) = (a+b)(a-b)
b = a+b
b = 2b
1 = 2

Tomado de http://www.dma.fi.upm.es/docencia/primerciclo/matrecreativa/juegosnumericos/enunciados.html y modificado por Dick Barrantes A.

Factorización

Uno de los "trucos" para aprender matemática es uno de los más conocidos pero también de los más ignorados: la práctica. Como dicen "la práctica hace al maestro", por lo tanto es importante que se dedique mucho tiempo a practicar con ejercicios interesantes, desafiantes y nuevos.
A pesar de ello, en ocasiones nos "bloqueamos" y necesitamos de alguien más para que nos ayude con un ejercicio; sería genial que se ayudasen entre los mismos compañeros pues de esta manera comprueban lo que saben, también dudan y buscan soluciones entre todos. Sin embargo, no siempre se puede contar con la ayuda de los compañeros, pues cuando se estudia o practica en casa es menos posible esa ayuda.
Por lo tanto, si se enfrentan solos ante un ejercicio de factorización y por más que intentan factorizar la expresión no pueden, entonces pueden acudir (eso sí, como último recurso) a la siguiente dirección electrónica: http://www.cidse.itcr.ac.cr/webMathematica/NewScript/factor.jsp
En ese sitio web, en la casilla en blanco pueden digitar una expresión como x^2-y^2, por ejemplo, y si le da un clic en "Factorizar" entonces abajo le devuelve la factorización completa, que en este caso sería (x-y)(x+y). Cuando usted ingresa al sitio ya hay una expresión algebraica en la casilla (x^3-y^3) y si le da un clic en "Factorizar" le da el resultado (x-y)(x^2+xy+y^2).
Aspectos que debe conocer para utilizar esta aplicación:

1. Para escribir "x a la n" se coloca la "x" y se escribe ^ junto a una "n", es decir, x^n. 
2. Para colocar "^" puede hacerlo pulsando la tecla "SHIFT" y la tecla que tiene a dibujada a "^", para que aparezca "^" puede escribir un número o darle un espacio e inmediatamente aparece. La tecla "SHIFT" es la que tiene una flecha gruesa apuntando para arriba o es la que se encuentra abajo de la "Bloq Mayús".
3. En caso de que no le funcione lo del punto anterior, y lo que es más sencillo, puede mantener pulsado la tecla "Alt" y escribir los números 94. Inmediatamente aparece "^".
4. Si necesita escribir (x+y)^2, por ejemplo, lo hace de manera análoga a "x^n". Debe de escribir entre paréntesis "()" y dentro de estos, en este caso, "x+y"; luego escribe ^ y 2. Así se obtiene:  (x+y)^2.
5. Por último, le recuerdo que esto se utiliza como último recurso.

Números Primos

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...
• 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20...

¿Qué características pueden notar en los números de la primera lista y los de la segunda?

Bueno, la segunda lista tiene números que pueden ser divididos por otros números (de la primera lista o de la misma) y que tendría como resultado un número entero.
Los números representados en la primera lista (¡y muchos más!) son llamados números primos.
Pero, ¿qué son los números primos?
Según González y Murillo (2006), se le llama número primo a un número natural n que es mayor o igual que 2 y que tiene únicamente como divisores al mismo número n y a 1. Es importante recordar que los números compuestos (representados en la segunda lista y muchos más) se definen como aquellos que no son números primos.

Ejemplo 1: ¿Es 31 un número primo? Pues sí, debido a que 31 es un número natural, mayor o igual que 2 y posee solo como divisores a 1 y 31.
Ejemplo 2: ¿Es 1 un número primo? No, pues aunque 1 es un número natural, no cumple con la condición de ser mayor o igual que 2.
Ejemplo 3: ¿2 es un número primo? Pues sí, debido a que 2 es un número natural, mayor o igual que 2 y sus divisores son los números 1 y 2.

En caso de dudas para determinar si un número es o no primo, pueden visitar la siguiente dirección electrónica: http://www.cidse.itcr.ac.cr/webMathematica/NewScript/primo.jsp, en la cual pueden digitar el número deseado y abajo le determinan si es primo o no.

González, J. y Murillo, M. (2006). Teoría de los números. Cartago: Editorial Tecnológica de Costa Rica.